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课程简介

在这个章节,我们将认识函数的一个重要的性质——单调性,也叫做增减性。这个概念在初中函数课程中就有所接触,而在高中则变成了一个极其重要的考点。除了了解单调性和单调区间的概念及图像特征,我们还要学会单调性的代数证明方法。此外,还有掌握分段函数、组合函数、复合函数的单调性变化规则,及相关的各种题型,同时也是对之前函数内容的巩固和加深。

视频列表
  • 1、单调性的定义,注意“定义域内”和“任意”这两个词的内涵
    2、 根据图象的走势来判断函数单调性,单增区间内图象上升,单减区间内图象下降。不要随便用并集符号连接分开的单调区间,为了避免错误,可以用逗号
    3、 结合平移及图像,可以由已知函数的单调性,判断复杂函数的单调性
  • 1、分段函数单调性的判断,通过图像,上升就是递增区间,下降就是递减区间
    2、 如果某分段函数在定义域内都具有单调性,则必须满足(1)各段单调性一致,(2)断点处单调性不变。利用它可以求出解析式中的未知参数的值
  • 1、用定义去证明或判断函数的单调性。操作就是三步:(1)取两不等$x$值;(2)求值并比大小;(3)确定增减性
    2、 在确定$f(x_{1})-f(x_{2})$的大小时,要对式子进行恒等代数变形,通过判断每个因式的正负,得到整体的正负。常用的小技巧有因式分解,利用定义域,乘以共轭因式有理化。如果含有未知参数,很可能需要分类讨论。反过来,可以有增减性来求参数的范围
  • 1、主要内容就是组合函数单调性的判断,第一类:$F(x)=af(x)$($a$为常数,且$a\neq 0$)。当$a>0$时,$F(x)$与$f(x)$的单调性相同;当$a<0$时,$F(x)$与$f(x)$的单调性相反
    2、 第二类:$F(x)=f(x)\pm g(x)$。只有四种组合能确定整体的单调性,即增$+$增$=$增,减$+$减$=$减,增$-$减$=$增,减$-$增$=$减
    3、 由组合函数的单调性判断各函数的单调性是不可行的。而且乘除运算形成的组合函数,单调性不确定
  • 1、复合函数的单调性规律:同增异减
    2、 两类题目,一类是已知复合函数解析式求单调区间,解这类题遵循四步即可,(1)求定义域(2)判断内层函数的单调性(3)判断外层函数的单调性;(4)求复合函数的增减区间
    3、 另一类是外层函数解析式未知,这类题关键的一步就是把外层函数的单调区间当成值域,去求内层函数的自变量范围。然后内外层的单调性就都知道了,复合函数的单调性就知道了
  • 1、对于内外层函数单调性都会变化的复合函数,研究它的单调性要采用由内到外的方法分类讨论单调性的组合结果,原理就是同增异减;注意求出外层函数突变点对应的$x$值,从而划分出复合函数的单调区间
    2、 多层复合函数单调性的规律,主要看减函数的个数。若为偶数,则为增;若为奇数,则为减
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