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课程简介

作为一进入高中,就要学习的新概念,集合从一个和之前完全不同的角度,去看待数学世界。熟悉了它,就打开了高中数学的大门。因为它对之后函数的理解,起到了至关重要的作用。集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体。它有一些固定的要求,和表达形式,以及不同集合之间的运算法则。还会结合不等式,方程和函数,以及分类讨论思想,假设思想,变化出各种题型。对同学们的逻辑推理能力,抽象数学思维能力,有很强的要求。超级课堂会把集合涉及到的各种题型,各种易错点,层层深入,条理清晰,用细腻动画的方式演绎,对于进入高中感到吃力的同学,将有极大的帮助。

视频列表
  • 1、介绍并集与交集的前4组性质:(1)交换律$A\cup B=B\cup A$,$A\cap B=B\cap A$
    2、 (2)结合律$(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$,$(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$
    3、 (3)集合与并集、交集的关系$A\subseteq A\cup B$,$B\subseteq A\cup B$;$A\cap B\subseteq A$,$A\cap B\subseteq B$;
    4、 (4)集合与本身的并集、交集$A\cup A=A$,$A\cap A=A$,还有推论$A\cup B=A\cap B$,则$A=B$
  • 1、介绍并集与交集的最后一组性质,并交关系与子集关系的互推,$A\cup B=A\Longleftrightarrow A\cap B=B\Longleftrightarrow B\subseteq A$ 记做“全集并子集=全集,全集交子集=子集”
    2、 这个规律可以把一些题目转化“含参子集参数取值问题”,又变成之前课程的内容
    3、 要注意子集可能为空集的情况,进行空集和非空集的讨论
  • 1、一是要把两集合的元素搞清楚,包括元素的性质、元素的个数,在数轴上的范围、或者某些共同特征
    2、 二是数轴的运用。记住并集的范围是覆盖的所有区域,交集的范围是覆盖的公共区域。同时考虑并集与交集的范围,就能确定不等式端点的取值范围
  • 1、​元素并不具体的条件下解决并集与交集综合题目的核心是熟练运用并集、交集的性质
    2、 $A$或$B$中的任意元素,必属于并集。交集中的任意元素,必属于$A$或$B$。根据这两条性质,就能通过交集或并集的元素,探索出$A$、$B$中的元素
  • 1、全集和补集的概念,注意:脱离全集去谈补集是没有意义的,而且补集也是全集的子集
    2、 补集的两种特殊情形:全集的补集为空集,空集的补集为全集。反之,如果$A$的补集为空集,则$A$为全集;如果$A$的补集为全集,则$A$为空集
    3、 补集的图形表示:在数轴或韦恩图上,是全集范围,抠去集合$A$的范围,就是$A$补集的范围。若全集为实数集,求补集就会方便很多,将不等号反过来写就$OK$
  • 1、​用数轴法解决补集问题时,有三点需要熟悉:一是要迅速写出补集,如果全集是R,只要把不等号反一下就能写出补集
    2、 二是要注意包含关系,不要忘记空集的讨论
    3、 三是假设端点值法,判断端点是否能取等
  • 1、补集的性质一:$A$与$A$的补集都是全集的子集
    2、 解题时注意两点:(1)$A$和$A$的补集中不能出现全集中没有的元素;(2)元素的互异性
  • 1、掌握补集的性质二:集合$A$与$A$补的并集为全集,交集为空集。它告诉我们:全集中的任意一个元素,要么属于$A$,要么属于$A$补,二者必居其一
    2、 补集思想的应用:某些抽象、复杂的问题从反面情况思考往往会很简单,尤其是当题目中存在一些特殊词时,比如“至多”、“至少”,就要马上想到“补集思想”,思考问题的反面,情况就会变得简单多了
  • 1、韦恩图由于它的直观,简洁,成为集合解题的必备杀器。一般有两种应用,一种是直接应用,分为两种题型,一种是“由图写集合”,一种“由集合画图”
    2、 “由图写集合”是最常见的题型,读懂各种韦恩图的第一步,是要熟悉各种基本的子集、并集、交集、补集还有摩根律、分配律的图形
  • 1、​对于三个或三个以上集合的韦恩图,你要看清阴影部分属于哪些集合,而不属于哪些集合,把它翻译成集合的运算式子
    2、 注意“抠图法”,若想抠掉一块区域,可以算跟它补集的交集
    3、 “由集合画图”相对简单很多,照着集合的算式画图就可以确定
  • 1、韦恩图的间接应用,指的是引入韦恩图帮助分析集合关系
    2、 介绍了前两类题目:(1)元素不具体的题目;(2)自定义的集合运算的题目,同学们要好好体会
  • 1、介绍韦恩图间接应用的后两类习题:(3)由运算后的集合,反推原集合的题目;(4)和方程结合求元素个数的题目
    2、 第四类题目可以分三步解答: (1)作图—将题目抽象为集合间的关系,作出韦恩图;(2)标注—根据条件,通过设未知数,把每个区域的数量都表示出来;(3)列方程—一般用全集元素的数量,来列方程求解
  • 1、对于两个有限集,并集元素个数等于两原集合元素个数相加,再减去交集元素个数。$card(A\cup B)=card(A)+card(B)-card(A\cap B)$
    2、 并集元素个数的范围,最小值等于其中元素较多的那个集合的元素个数,发生在两集合有包含关系时。最大值等于两集合元素的个数和,发生在交集为空时。注意$max$这个符号的意思$max\left \{ card(A),card(B) \right \}\leq card(A\cup B)\leq card(A)+card(B)$
  • 1、​对于三个有限集,并集元素个数等于三个原集合元素个数相加,再减去三个两连交集的元素个数,再加上一个三连交集的元素个数。$card(A\cup B)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A\cap B)-card(A\cap C)-card(B\cap C)+card(A\cap B\cap C)$
  • 1、并集、交集、补集的混合运算,结果依然是集合,运算时从左到右进行,有括号就先算括号内的
    2、 对于不等式表示的集合,要借助韦恩图或数轴运算
    3、 读懂混合运算,把元素代入集合表达式求参数
  • 1、集合混合运算的两大性质是摩根律和分配律
    2、 摩根律解释的是两个集合在全集里的交并补关系,分配律解释的则是三个集合的交并关系,它们可以帮我们转化一些复杂的混合运算,让你在集合运算的能力上更胜一筹

  • 集合下综合练习
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