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课程简介

圆是初中几何学习的终点站,把它放在最后,一个很重要的原因就是它的难度更大。超级课堂这里就把圆分成多个章节来讲解,在这章,我们主要研究圆的基本性质,大致包括圆,弧,弦,点圆位置,圆心角,圆周角,外接圆等内容。这些基本概念,和经典的几何模型都是你必须要掌握的,对于后续的学习有重要意义。超级课堂依旧以娴熟的动画,妙趣横生的主题,清晰演示每一个知识点,让圆不再成为初中几何无法征服的图形。

教材版本与年级
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九年级上册
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九年级上册
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九年级上册
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适合年级
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九年级下册
华师大版
九年级下册
版本
适合年级
湘教版
九年级下册
视频列表
  • 1、圆的概念和圆的重要元素,记住圆心,半径,直径和圆的数学表示
    2、 圆就是天使的光环,不包括圆面,也不包括圆心
    3、 会用直角坐标系和勾股定理去计算半径
    4、 同圆等圆的区分和同心圆的概念
  • 1、连接圆上任意两点的线段,就是弦
    2、 其中经过圆心的弦叫做直径
    3、 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧
    4、 在圆内普通的弦对应两条弧,一条劣弧,一条优弧。独特的是,直径所对的两条弧是相等的,都是半圆
    5、 由一条弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形
  • 1、穿过$P$点和圆心,画一条直线,找到这条直线和圆的两个交点
    2、 其中离$P$近的那个,就是最近的,离$P$远的那个,就是最远的
    3、 $P$在圆外时,最长的减最短的等于圆的直径,而$P$在圆内时,最长的加最短的等于圆的直径
  • 1、点和圆的位置关系,有$3$种:点在圆上、点在圆内、点在圆外
    2、 比较点到圆心的距离$d$和圆的半径$r$之间的大小关系。如果$d=r$:点在圆上;如果$d$小于$r$:点在圆内;如果$d$大于$r$:点在圆外。反之也成立
  • 1、垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。核心就是“由垂直,推平分”
    2、 由垂径定理还能得到一种有关弦的辅助线作法:过圆心作弦的垂线。可以把弦平分,从而解决各类边长关系的问题
  • 1、利用垂径定理求解弦长。作垂线、连半径,构造直角三角形
    2、 半径,弦心距和弦长的一半,对这三个量应用勾股定理,然后列方程解决
    3、 对于夹角问题,把它放在一个直角三角形里,通过边长的特殊比例求夹角
    4、 对于有两个量都未知的情况,我们都会寻找它们的关系,把一个量用另一个量表示出来
  • 1、同圆或等圆中,弦心距、弦长是“死对头”,一个越大,另外一个就越小
    2、 由这个规律,我们推导出“过圆内不是圆心的一点$P$所作的所有弦中,最长的弦是直径,最短的弦是和$OP$垂直的弦”
    3、 通过弦心距和半径这对死对头的特殊关系,我们就能更加看清弦心距和弦长二者如何在圆中变化,上演对头好戏了
  • 1、垂径定理的推论$1$:圆的两条平行弦所夹的弧相等
    2、 解决平行弦间距的方法,千万要注意两种情况,讨论是必须的:当两条平行弦在圆心同侧时,距离为弦心距之差;当两侧时,距离为弦心距之和
    3、 解决垂直弦问题的方法:作两个弦心距构成矩形
  • 1、不管是垂径定理还是它的三个推论,都涉及到以下$5$个条件:(1)过圆心,(2)垂直弦,(3)平分弦,(4)平分弦对应的劣弧,(5)平分弦所对应的优弧
    2、 满足两个条件,可以推出另外三个。简称为“知二推三”
    3、 由这5个条件知二推三,$5$选$2$,一共有$10$种选法,能得出$10$个命题。这十个结论就是垂径家族的十胞胎,本质是一样的
  • 1、不共线的三点才能确定唯一的一个圆,共线的三点则不行
    2、 经过三角形三个顶点的圆就是三角形的外接圆,它的圆心叫做三角形的外心,位置就是各边中垂线的交点。反过来,这个三角形则是圆的内接三角形
    3、 外心的性质:到三个顶点的距离相等,就是外接圆的半径
  • 1、怎么求一个三角形的外接圆半径有以下三种情况
    2、 直角三角形:斜边长除以$2$
    3、 等腰三角形:利用垂径定理
    4、 一般的三角形:就用超级课堂教你的秘诀:“两边除高”
    5、 掌握了这节课的方法就可以真正做到我的地盘我做主
  • 圆的基本性质综合练习
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