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课程简介

我们经常研究钟面上时针与分针的关系,如时针与分针重合,或成特殊角等等。我们可以把这类时钟问题看作在圆周上特殊的行程问题,其中分针速度比时针快很多,随着时间的推移,可以看作分针在不断追赶时针,从而引发两针之间不同的位置关系,显然这是我们非常熟悉的追及问题,所以我们可以用追及问题的思路来解决时钟问题

视频列表
  • 1、时针与分针的速度:分针每分钟转$1$小格($6^{\circ}$),时针每分钟转$\dfrac{1}{12}$小格($0.5^{\circ}$)
    2、 利用追及问题的思路得到了时钟问题的基本公式
    3、 以格数为讨论对象的公式:追及格数$÷(1-\dfrac{1}{12})=$追及时间(分钟)
    4、 以度数为讨论对象的公式:追及度数$÷(6-0.5)=$追及时间(分钟)
    5、 第一类时钟问题——两针重合问题的思路与推论:起始领先格数$÷(1-\dfrac{1}{12})=$追及时间(分钟)利用这个公式又得到了两针相邻两次重合的间隔时间:$\dfrac{720}{11}$(分钟),或者$65\dfrac{5}{11}$分钟。并且得到结论:时针分针每昼夜共重合$22$次
  • 1、第二类时钟问题——两针共线问题,包含两针重合与两针反向两种情况
    2、 两针共线,就是两针在一条直线上。除了包括重合的情况,还包括反向的情况。它们之间相差$180^{\circ}$,或者说钟面上的$30$个小格
    3、 只要弄清楚是先重合还是先反向,就能知道在重合追及格数的基础上,应该加上$30$格,还是减去$30$格
    4、 求出两种情况的追及格数后,就能求出各自的追及时间了
  • 1、介绍第三类时钟问题——两针夹角问题的解决办法。夹角有一个特点,就是小于$180^{\circ}$。可以根据夹角,确定领先角,再用上节课的方法确定时刻。由于夹角是角度,所以只要记住分针和时针每分钟$5.5^{\circ}$的速度差就可以了
    2、 一类典型的夹角问题,就是求两针的垂直时刻。相邻两个整点时间内会发生两次垂直。根据起始时刻的领先度数可以确定第一次达到垂直的追及度数,从而得到第一次达到垂直需要的时间;再把这个度数加上$180^{\circ}$,得到第二次达到垂直的追及度数,从而得到第二次达到垂直需要的时间
    3、 角这类题目的关键,就是要弄清楚夹角度数和领先度数的关系,把题目转化为典型的追及问题
  • 1、利用相遇问题的思路解决两类特殊的时钟问题:第一类是时针分针的位置对称问题。可以让时针从整点出发反向旋转,就能转化为相遇问题。此时两针的总路程就是整点时刻时针领先分针的格数
    2、 第二类是时针分针的位置互换问题。同样是让时针从分针最终位置出发反向旋转,就能转化为环型多次相遇问题,注意要利用总时间的大致范围确定相遇次数
  • 1、解决快慢钟问题的基本思路,即抓住速度比
    2、 标准钟和快慢钟上显示的时间,本质上都是指针走过的格子数,相当于行程问题中的路程。所以速度比就是经过的时间比
    3、 由标准时间求快慢钟的时间很简单,用每小时快慢钟多出或少了的时间,乘以经历的标准时间,就能得到一共快了或慢了几分钟。但反过来,由快慢钟时间求标准时间,要通过速度比,把快慢钟的时间换算成标准钟的时间,然后再求标准时间
  • 1、需要用到最小公倍数原理的快慢钟问题是指,如果两个快慢钟在不同的时间后显示标准时间,或时针分针重合,那么让它们同时显示标准时间,或时针分针重合,就要求这两个时间的最小公倍数
    2、 通过这两道例题,还要记住一些常用结论。比如钟表的周期是$12$小时,只要快或慢$12$小时,就能重新显示标准时间。还有$12$小时内,时针分针会重合$11$次。记住这些常用结论,在遇到快慢钟问题时,做起来会更快更轻松
  • 1、利用和倍、差倍问题的原理解决的快慢钟问题
    2、 通常用于两个非标准钟同时调准,经过一段时间后显示各自时间的问题。同学们要学会把钟表快慢的条件转化为“倍”“和”“差”的条件
  • 1、解决了三道快慢钟的综合题。对于多个快慢钟的题目,还是要严格通过速度比去判断快慢,不然就会被条件迷惑
    2、 和两针重合时间有关的题目,都要去算两针重合时间间隔,注意利用标准钟的两针重合时间间隔为$65\dfrac{5}{11}$分钟这个潜在的条件
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