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课程简介

从这个章节开始,我们就要正式接触三角函数了。用单位圆和坐标来定义和研究三角函数,是这个章节的核心。角α的终边,和单位圆交于P点,把正弦定义成P点的纵坐标,余弦定义成P点的横坐标。并在这个基础上,把三角函数值具象成三角函数线。这些都是这个章节最基础的概念和知识。此外,在三角函数线的应用课程中,超级课堂将传授你解决各种相关真题的技巧。

视频列表
  • 1、​学习了任意角的三角函数定义:设$\alpha $是一个任意角,它的终边与单位圆交于点$P(x,y)$,那么正弦$sin\alpha =y$,余弦$cos\alpha =x$,正切$tan\alpha =\dfrac{y}{x} (x\neq 0)$
    2、 正弦、余弦、正切统称为三角函数,三角函数可以看作自变量为实数的函数。其中正弦和余弦的定义域为$R$,而正切函数的定义域为$\left \{ \alpha |\alpha \neq \dfrac{\pi }{2}+k\pi,k\in Z \right \}$
    3、 记住一些特殊角的三角函数值,以及用单位圆求某些特殊角的三角函数值
  • 1、介绍终边关于坐标轴对称的两个角之间三角函数值存在的规律
    2、 得到两个常用结论:互补角的正弦相等,余弦与正切互为相反数。弧度互为相反数的两个角余弦相等、正弦与正切互为相反数
    3、 只需要记住第一象限的这些特殊角的三角函数值,就能推出其他象限的特殊角的三角函数值
    4、 用单位圆完成了一个证明,角$\alpha $的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于$1$
  • 1、三角函数定义的推广:正弦函数值等于坐标系内任一点的纵坐标除以它到原点的距离,余弦函数值等于横坐标除以它到原点的距离,正切函数值等于纵坐标除以横坐标
    2、 任意角$\alpha $的三角函数值只和终边的位置有关,而和点$P$在终边上的位置完全无关
  • 1、介绍终边和正比例函数重合的角的三角函数值求法,其中正切值就是斜率$k$
    2、 正弦和余弦值有两种求法。一种是公式法,一种是特殊点法。显然后者更加简便,利用特殊点法,还能由三角函数值反求斜率$k$
  • 1、掌握各象限三种三角函数值的正负分布。可以通过对应的坐标轴的正负来判断
    2、 我们还总结除了其中的一些规律。比如正弦:上正下负;余弦,左负右正;正切,交叉正负
    3、 正数三角函数值的分布规律:一全二正三切四余
  • 1、对于涉及三角函数符号规律应用的题目,可以通过角的终边位置,判断出三角函数值的正负
    2、 反之,也可以由三角函数值的正负,判断出角的终边位置
    3、 最后解决一类跟倍角、分角终边位置问题结合的题目
  • 1、三角函数线包括正弦线、余弦线、正切线
    2、 它是表示三角函数值的有向线段,线段的方向表示了三角函数值的正负,长度表示了三角函数值的绝对值
  • 1、​对三角函数线这个动态模型进行深入研究,它不仅反映了三种三角函数线的形态,还反映了正弦、余弦的有界性
    2、 它可以帮助我们求三角函数参与的复合函数的值域
  • 1、利用三角函数线解简单的三角不等式,都是四步操作
    2、 正弦和余弦需要画一条横着和竖着的线来判断范围
    3、 正切,要在切线上截取一段来找终边,只看$y$轴右侧,且周期是$\pi $
  • 1、​讲解了利用三角函数线证明三角不等式的一道很巧妙的例题
  • 1、同名异角三角函数值的大小比较,只要把这些角对应的三角函数线尽量准确地画出来,就能轻松完成比较
    2、 对于正弦,终边和$y$轴正半轴夹角越小,则正弦值越大;终边和$y$轴负半轴夹角越小,则正弦值越小
    3、 对于余弦,终边和$x$轴正半轴夹角越小,则余弦值越大;终边和$x$轴负半轴夹角越小,则余弦值越小
    4、 对于正切,在一、三象限,终边和$y$轴夹角越小,则正切值越大;而在二、四象限,终边和$y$轴夹角越小,则正切值越小
  • 1、对于$sin\alpha $和$cos\alpha $。当角$\alpha $的终边落在一、三象限角平分线左上方时,$sin\alpha >cos\alpha $,$sin\alpha -cos\alpha >0$
    2、 当角$\alpha $的终边落在一、三象限角平分线右下方时,$sin\alpha <cos\alpha $,$sin\alpha -cos\alpha <0$
    3、 当角$\alpha $的终边落在二、四象限角平分线左下方时,$sinα+cosα<0$
    4、 当角$\alpha $的终边落在二、四象限角平分线右上方时,$sinα+cosα>0$
  • 1、对于$sin\alpha $和$tan\alpha $。有结论当$\alpha \in (0,\dfrac{\pi}{2})$时,$sin\alpha <\alpha <tan\alpha $
    2、 此外,对于一、三象限角,$sin\alpha <tan\alpha $;对于二、四象限角,$sin\alpha >tan\alpha $
    3、 对于终边落在$x$轴上的角,$sin\alpha =tan\alpha =0$
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