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课程简介

生活中的各种小问题,解决起来都需要一些数学技巧。这个章节我们就来带大家见识几类常见应用。包括开锁问题、蜗牛爬井问题、买卖赚赔问题、空瓶换水问题和倒水问题。这些看似普通的小难题,经过仔细分析后,就能简化抽象成模型,得到一些有趣实用的结论。掌握这些结论,以后遇到这类题就能从容应对。

视频列表
  • 1、掌握开锁问题的两个规律:对于$n$把钥匙和$n$把锁,最少需要试$n-1$次,最多需要试$(n-1)+(n-2)+\cdots +1$次。根据等差数列的求和公式,可以化为$n×(n-1)÷2$次。
  • 1、对于求爬行天数的题目,先用井深总高度减去最后一天上爬的高度,再用剩余高度除以每天上升高度。如果能整除,用商加$1$就是所需天数;如果不能整除,用商加$2$就是所需天数。
    2、 最后一题要注意的是,$4$天是不够精确的,应该是完整的$3$天加第四天的白天。
  • 1、“白天上爬高度”、“晚上下滑高度”、“井深总高度”、“爬行天数”是蜗牛爬井问题中的四个量。
    2、 白天上爬高度-晚上下滑高度=每天上升高度
    3、 如果题目给出的不是“傍晚”、“白天结束时”等表明用完了一整个白天的条件,则井深总高度不能确定,但我们能求出井深的最小值。
    4、 最后是求总路程,把每次上爬的距离和每次下滑的距离都算在内,加起来就是总路程。
  • 1、买入和卖出这两部分钱的差值,就是赚或赔的钱。
    2、 对于多次买卖的题目,可以选择合并法或分段法。合并法就是分别计算总共卖出的钱和总共买进的钱,从而把多次买卖合并成一次买卖来求赚赔的钱。分段法就是先单独计算每段买卖中赚赔的钱,最后再综合起来求整体赚赔的钱。
  • 1、假钱亏损问题可以用整体统计法来求亏损金额。通过分析可知由假钱产生的亏损金额总等于假钱金额。因此换零钱、赔偿等一系列中间过程都可以忽略。
    2、 如果条件提供了商品的进价和售价,那么在求亏损金额时,就还要考虑卖出商品本身的盈亏。
  • 1、空瓶换水问题的两种思路:第一种是多步解决,要注意最后一步往往需要借空瓶与还空瓶。
    2、 第二种是找规律,由“4个空瓶=1个空瓶+1份汽水”可知“3个空瓶=1份汽水”。
    3、 假如最开始有A瓶汽水,每B个空瓶能换一瓶汽水,则A个空瓶还能换A÷(B-1)份汽水,一共最多就能喝到A+A÷(B-1)瓶汽水。
    4、 如果A不能被B-1整除,那么余下的几个空瓶就没办法换成汽水了。
  • 1、倒水问题的核心思路是凑差法,即从满的大杯中倒满小杯,从而得到它们的差。
    2、 还有一种常用方法是构造新杯法,距离杯子装满还差多少,就相当于构造了一个容积为那么多的杯子。
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