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课程简介

在学习过圆的各种性质和定理后,这章就要研究圆和其他图形的位置关系了。包括圆和直线,以及圆和多边形。圆和直线最常考察的位置关系就是相切,因为这时会产生很多特殊的角度和长度关系,搭配上相似和全等,各种考题层出不穷,也是这一章的难点。所以这一章涉及的图形很多,三角形,四边形,直线,圆,之前学过的几何知识都会一起来考察,综合题的难度就会很大。超级课堂会把各个知识点和技巧,融合相关题目,讲解的有条不紊,深入浅出,想在圆这章有质的飞跃的同学们,赶快加入学习吧。

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视频列表
  • 1、直线与圆三种位置关系的定义
    2、 直线与圆有两个公共点就相交;一个公共点:相切;没有公共点:相离
    3、 实用的性质和判定定理,就是比较圆心到直线距离和半径的大小关系
    4、 直线$l$和$\bigodot O$相交$d<r$
    5、 直线$l$和$\bigodot O$相切$d=r$
    6、 直线l和$\bigodot O$相离$d>r$
    7、 一道动点,动圆的题目,注意临界点的确定
  • 1、切线判定的基本原理:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
    2、 解题的两种方法:当没有给出直线与圆的公共点时“作垂直,证半径”;当明确给出了直线与圆的公共点时“连半径,证垂直”
    3、 判定切线的第一步一定要观察公共点是否存在,再选择使用哪种方法解决,获得擦边而过的证据
  • 1、切线的性质定理:经过切点的半径垂直于圆的切线
    2、 产生了一种辅助线的做法,“连结圆心与切点”,可以获得垂直和半径两条关键信息,成为解决切线问题的不二法门
    3、 切线性质的“知二推一”: 如果某条直线满足下面三个条件中的两个,那么它一定满足第三个。(1)经过圆心,(2)经过切点,(3)垂直于切线
    4、 相切是圆和直线,最重要,定理性质最多的一种位置关系
  • 1、经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长叫做切线长
    2、 切线长的第一个性质:对于确定的圆,切线长的大小取决于圆外点到圆心的距离,距离越大切线长越大
    3、 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角
    4、 通过多对相等的切线长,进行线段的等量代换,构造出方便求长度,或是长度固定的图形
  • 1、切线长定理中,平分角性质的应用
    2、 当图形中切线比较多,要研究角度关系时,可以用到这个性质
    3、 切线长定理的三个推论,它们都是为了彻底说明甜筒图形具有对称性
    4、 切线长定理中涉及的长度和角度相等的关系,在今后更加复杂的图形中还会经常出现,成为我们寻找解题线索的突破口
  • 1、顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角
    2、 弦切角定理的内容:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
    3、 弦切角定理的作用和应用:完成弦切角与圆周角的相互转化,进而帮助我们计算或证明有关弦切角的问题
  • 1、相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等
    2、 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
    3、 切割线定理的推论—割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
    4、 圆内的线段比例,都是建立在相似三角形的基础上的。圆内之所以有那么多相似三角形,就是因为圆内的角度关系
  • 1、相交弦、切割线定理还有割线定理总结得出圆幂定理
    2、 圆幂定理:过一个定点$P$的任何一条直线与圆相交,则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值$\left | OP^{2}-r^{2} \right |$
    3、 通过圆幂定理,三位一体结合,原来他们的本质是完全一致的,圆的半径大小,点圆位置,也就是$OP$的距离,就只有这两点决定了$PA$和$PB$这两条线段的长度乘积
  • 1、内切圆的定义:和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,它在圆的内部。内切圆的圆心叫做内心,三角形叫做圆的外切三角形
    2、 三角形内心的三句独白,三个性质:(1)内心到三角形三边的距离相等,都等于内切圆的半径;(2)内心是三角形的三条角平分线的交点;(3)顶角和张角的关系:若$O$是三角形$ABC$的内心,则满足:张角等于顶角的一半再加上$90^{\circ}$
    3、 三角形和内切圆的对应关系:一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数个外切三角形
  • 1、对于圆的外切三角形,若△ABC的三边切圆$O$于$D,E,F$三点,则
    2、 $AE=AF=\frac{b+c-a}{2}$
    3、 $BF=BD=\frac{a+c-b}{2}$
    4、 $CD=CE=\frac{a+b-c}{2}$
    5、 对于圆的外切四边形,两组对边的和相等
  • 1、三角形内切圆的半径公式,利用面积法推导得到。半径等于两倍的面积除以周长$r=\frac{2S}{L}$
    2、 三角形肚子里的圆,跟面积和周长有关。三角形的面积、周长、内切圆半径,三条信息,“知二求一”
    3、 对于边长为$a$的等边三角形,化简得到:内切圆半径就是边长的六分之根号$3$倍
    4、 对于一般三角形,知道了三边也可以求出内切圆半径,周长就是$a+b+c$,至于面积呢,就要求高。对于内部左右两个直角三角形,使用勾股定理,列个方程就搞定了
  • 1、面积法推导出任意多边形内切圆半径的求法,还是公式 。面积、周长、内切圆半径“知二求一”
    2、 面积法的应用,要注意的是分割多边形的方法,连接圆心和各切点和顶点
    3、 对于直角三角形,超级课堂给出了一个独创的算法
  • 与圆有关的位置关系综合练习
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