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课程简介

在这个章节,我们将继续函数单调性的学习,研究单调性在题目中的应用方法。因为单调性反应了函数值随自变量变化的规律,所以对求解最值及值域是有帮助的。比如对于某一单调区间,端点值就是区间的最值。此外,超级课堂在这个章节还会着重研究二次函数这一具有固定单调性的函数,以及复杂的对勾函数、分式函数的的性质及应用。

视频列表
  • 1、单调性的给出方式主要有五种:直接给出;由图象给出;由定义法给出;由定义法的变形给出;给出解析式,自己判断单调性
    2、 了解最值的定义,还有它的几何意义,即函数图象最高点或最低点的纵坐标
    3、 单调性和最值的关系。对于任意函数的一个单调区间[a,b],这个区间的最值一定由端点取得
  • 1、在函数的单调闭区间上,端点函数值就是最值。如果是开区间,则可能没有最值
    2、 如果在区间上没有单调性,可分为先增后减和先减后增两种情况,单调性发生变化的那个顶点是最大或最小值。另外一个最值由端点比较得出
  • 1、主要内容是二次函数在实数集上的值域问题,可以用顶点坐标公式或配方法来求;由此引出二次式恒为正或恒为负的问题,只要把二次式看成二次函数,通过开口方向,和判别式,就能得出恒为正或恒为负的条件
  • 1、主要讨论了二次函数$f(x)=ax^{2}+bx+c(a\neq 0)$在闭区间$[m,n]$上的最值的分类方法
    2、 根据图象,二次函数在闭区间上的最值要么在顶点处取得,要么在区间端点处取得,具体取法要同时考虑开口方向、对称轴与区间的相对位置
  • 1、​在某闭区间上,函数值大于或大于等于k恒成立,和最小值大于或大于等于k,可以相互推导
    2、 同理,函数值小于或小于等于k恒成立,和最大值小于或小于等于k,可以相互推导
  • 1、​“参变互换”的技巧,用于解决已知参数所在区间,求自变量x的取值范围的问题
    2、 函数的值域在某个区间内恒成立的条件,要分类求最大值与最小值,有时由条件可以省去一种甚至几种分类,然后再通过列方程组求解
    3、 无论是恒成立也好,存在解也好,都是对值域的限定,只有把握住了值域的两头,也就是最大值和最小值,才能知道如何把值域限定起来
  • 1、两类对勾函数,其中第一类,$ab$异号的情况,你只要记住各自的单调性
    2、 第二类对勾函数,即$ab$同号的情况。你需要记住三点:(1)图像形状,(2)顶点横坐标,(3)两条渐近线,一条是$y$轴,一条是$y=ax$
  • 1、学习和对勾函数相关的三类题型:求单调区间的题,求值域的题,由值域求参数的题。注意利用恒等变形和换元法转化成对勾函数的技巧
  • 1、​"自变量大小关系”“函数值大小关系”“单调性”这三者之间可以知二求三
    2、 熟悉第一类题型,由“自变量大小关系”和“单调性”判断“函数值大小关系”
  • 1、认识由“函数值大小关系”和“单调性”判断“自变量大小关系”的题型
    2、 要注意的就是千万不要忽略定义域的限定,通常需要三个不等式
    3、 还要充分利用函数图像来帮助分析单调性
  • 1、第一类二次分式函数,分子为非零常数,分母为二次式。 运用复合函数求值域的方法即可:由内向外,逐层求值域
    2、 第二类二次分式函数,本质就是通过代数变形,变成含有对勾函数的复合函数。它还分两种:分子或分母只含一次项和含有一次项和常数项。前者的变形技巧为:拆分解析式和分子分母同除以$x$,后者需要先用换元法,再用前者的技巧
    3、 分子分母同除以一个字母时,如果它能取$0$,就要分类讨论
  • 1、​形如这样的$f(x)=\frac{ax^{2}}{dx^{2}+ex+f}(ad\neq 0)$,$f(x)=\frac{ax^{2}+bx+c}{dx^{2}}(ad\neq 0)$二次分式函数求值域。可以分子、分母同除以$x^{2}$,再按复合函数去求整体值域
  • 1、​形如$f(x)=\frac{(ax^{2}+bx+c)}{(dx^{2}+ex+f)}$$(ad\neq 0)$这样的二次分式函数求值域,要注意,当二次分数函数可以约分时,是不能用判别式法的
    2、 还要注意,这节课所举例子的定义域,都是自然定义域,如果人为限定了x的范围,就要牵涉到一元二次方程根的分布问题,除了判别式,还要考虑其他因素
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