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课程简介

了解了对数的概念,本章节我们将要学习的就是对数函数。作为指数函数的对手,对数函数的应用也五花八门。超级课堂将带领你一点一点地去熟悉对数函数,从函数的单调性入手,教你如何解对数不等式、进行对数函数的大小比较等问题。更从最通俗的角度对数函数极具特点的嵌套对数展开深入的讲解。基本初等函数既不基本也不初等,超级课堂与你共度难关!

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  • 1、对数函数的概念,判断对数函数要注意三点:(1)底数$a$为大于$0$且不为$1$的常数。(2)真数位置上只能有$x$这一项。(3)整个对数式的系数必须是$1$,且后面不能有不为零的常数。对数函数的定义域为$(0,+\infty )$。确定底数$a$可以采用待定系数法,但不能带入$(1,0)$,因为对数函数的图象一定经过点$(1,0)$
    2、 $0<a<1$时,图象下降,函数递减。当$a>1$时,图象上升,函数递增。
    3、 图象都在$y$轴右侧,$y$轴是它们的渐近线,值域为$R$。且都经过$(1,0)$这个定点。若两个对数函数的底数互为倒数。它们的图象总关于$x$轴对称。
    4、 对比指数函数的图象,它们的定义域和值域恰好相反。都过定点。且单调性受$a$影响的规律是一致的。即底数$0<a<1$,两种函数都是单减的;$a>1$都是单增的
  • 1、学习对数函数图象在题目中的应用
  • 1、认识第一类绝对值函数的图象及常用规律
    2、 第一类是套$x$的类型,图象左右对称。根据$a$的范围,分为喇叭口朝下和朝上两种图象。常见的还有它的平移变换后的函数,变换依旧遵循“左加右减”原则。对称轴为$x=-k$
  • 1、认识第二类绝对值函数的图象及常用规律
    2、 第二类是整体套类型,图象都为$v$型,顶点都为$(1,0)$。但要注意$a$会影响每段图象对应的解析式,在画图时,不妨也写出每段的解析式
  • 1、学习两种套法相结合的绝对值函数。作图象时,按前面两种画法分步操作即可。图象为关于$x=-k$对称的断开的“$vv$”型
    2、 两个顶点在$x$轴上,分别为$(-1-k,0)$和$(1-k,0)$
  • 1、认识有关对数函数的第一类题型——由单调性求字母范围
    2、 由函数递减推出$0<a<1$,由函数递增推出$a>1$。涉及分段函数单调性满足的条件,以及通过图象判断字母参数的范围,要注意结对数函数的应用—对数函数的单调性与值域合二次函数的知识
  • 1、认识有关对数函数的第二类题型——与值域相关的问题
    2、 当底数固定时,根据单调性,结合图象就能求出相应区间内的值域
    3、 当底数有未知字母时,若条件给出的是最值之和,则不需要准确知道哪个是最大值,哪个是最小值,故不需要分类讨论。若给出的是最值之差,或倍数关系,则需要搞清哪个是最大值,哪个是最小值,此时需要按底数分类讨论。
  • 1、​对于第一类对数不等式,解法是将常数$b$化为以$a$为底数的对数$log_{a}a^{b}$,再根据对数函数$y=log_{a}x$的单调性来得到真数$f(x)$与$a^{b}$的大小关系,同时要注意真数$f(x)>0$
  • 1、对于第二类对数不等式$log_{a}f(x)<log_{a}g(x)$,可以根据底数决定的外层对数函数的单调性,得到内层函数$f(x)$与$g(x)$的大小关系。不过要注意,真数都是要大于$0$的。所以一般会得到三个不等式组成的不等式组
    2、 如果不等式两侧底数不同,就要进行化同底。如果两个对数的底数不能直接相互转化,就要把它们的底数转化成另外同一个数
  • 1、对于第二类对数不等式,如果对数式的底数含有参数,就要分类讨论
    2、 最后一道题要注意的是,在通过不等式组求交集时,要利用底数分类的前提条件
  • 1、​对于第三类对数不等式,及可以化为这种形式的不等式,可以采用是换元法
    2、 通过两边同时平方,化同底,取对数等处理,某些不等式都能变成第三类对数不等式的基本形式
  • 1、讲解了一道第三类对数不等式的综合题,核心解法就在于对于$x^{log_{a}x}$这一项的处理,大家要记住对它取对数,从而把指数变成系数
  • 1、对于含$x$的项较多,且无法用换元法化简的对数不等式,要尝试用图象法去解决
    2、 把含对数式的项和其他类型的项分别放在不等号两边。观察出它们属于那种函数结构,通过图像的上下关系,来求不等式的解集
  • 1、学习第一种解决不规则的指数不等式、对数不等式的方法——利用相似结构构造函数法
    2、 通过移项,使不等号两侧结构相同,根据相似结构构造函数
  • 1、学习第二种解决不规则指数不等式、对数不等式的方法——整体构造函数法
    2、 通过每一项都除以同一个指数式,整体构造出一个单调性确定的函数
  • 1、讲解一道综合利用构造函数法,解决不规则指数不等式、对数不等式的题目
    2、 对于更加不规则的对数不等式,需要通过换元,恒等式等数学工具进行转化
  • 1、介绍如何利用构造函数法,解决不规则的指数不等式、对数不等式
    2、 可以通过移项,使不等号两侧结构相同,根据相似结构构造函数
    3、 也可以通过每一项都除以同一个指数式,整体构造出一个单调性确定的函数
    4、 对于更加不规则的对数不等式,需要通过换元,恒等式等数学工具进行转化
    5、 最后一道题就是一个很典型的例子,同学们要好好揣摩这两大技巧和思维步骤
  • 1、利用图象法和换底法解决第二类—底数不同,真数相同的对数式大小比较问题
    2、 图象法的关键,是要记住底数和图象位置关系的规律。通过这个规律就能画出底数不同的对数函数图像的大致位置关系,再用一根代表相同真数的竖线,根据交点的上下关系,就能判断出对数值的大小关系。当然,也能反用,通过图像,判断底数的大小关系
    3、 换底法,即把题目化为以同底数对数为分母的倒数的大小比较问题
  • 1、学习处理底数、真数都不同的对数式的大小比较的第一种方法——标准值法
    2、 对于标准值法,可以选取$0$或$\pm 1$作为标准值。同时要记住一个常用规律:如果底数与真数同大于$1$或同小于$1$,那么对数值大于$0$;如果底数与真数一个大于$1$,一个小于$1$,那么对数值小于$0$
  • 1、学习处理底数、真数都不同的对数式的大小比较的第二种方法——图象法
    2、 对于图象法,在同一坐标系中画出每个函数的图象,然后找真数对应的点,通过点的高低判断大小关系
    3、 还额外介绍了独特的函数构造法。它的关键在于,要发现一系列对数式存在的代数结构上的规律
  • 1、对数型复合函数求定义域依然遵行“由外向内”的原则。对于外层为对数函数的类型,首先要保证真数$f(x)$大于$0$,然后再考虑内层函数$f(x)$的定义域。切忌随意合并原函数,否则会改变定义域。对于内层为对数函数的类型,首先考虑外层函数$y=f(u)$的定义域,求出$u$的范围,即$log_{a}x$的范围,再求出$x$的范围,得到定义域
    2、 过定点的问题也非常简单,对于外层为对数函数的复合函数。若$f(m)=1$,则图象过定点$(m,0)$。对于内层为指数函数的复合函数,图象过定点$(1,f(0))$
  • 1、对数型复合函数的单调性依然遵循“同增异减”的原则,千万不要忘记真数大于$0$的定义域的潜在限定
    2、 对于组合型的对数型复合函数,先尝试根据组合函数单调性的规律来判断,如果行不通,就要进行合并,但要先求定义域,因为合并会改变原函数定义域
  • 1、学习外层为对数函数的复合函数,$y=log_{a}f(x)$的值域求解技巧
    2、 原理是先在定义域的基础上求出内层函数$y=log_{a}u$的值域,再将它作为外层对数函数的定义域,从而求出$y$的范围,即复合函数值域
  • 1、学习一类常见题型:什么情况下$y=log_{a}f(x)$的定义域为$R$,什么情况下它的值域为$R$
    2、 若定义域为$R$,真数$f(x)$必须恒大于$0$,反映在图象上就是$f(x)$图象完全在$x$轴上方
    3、 若值域为$R$,则需要$(0,+∞)$是$u$的子集,即$f(x)$值域的子集。反映在图象上,就是$f(x)$的值域要能覆盖$y$轴的正半轴
    4、 如果把值域由$R$改成其他区间,处理方法也一样。注意,借助图象研究会更直观
  • 1、讲解一道对数型复合函数的单调性与值域相结合的问题,同学们要认真体会涉及到的解题技巧
  • 1、学习内层为对数函数的复合函数的值域求解技巧,基本方法还是和普通复合函数求值域的方法一样,结合图象去分析
    2、 需要注意使用的技巧主要有:对数式化同底,和含参
  • 1、讲解一道含参数和化同底这两个技巧相结合的题目,同学们要认真体会各种技巧的巧妙使用
  • 1、讲解一道极难的综合题,这一道题含金量很高,体现了非常严谨的数学思维,同学们要注意体会
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