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课程简介

函数——高中数学最重要的内容,它的现代定义建立在集合论的基础上。本章将帮你充分认识函数的概念、函数的表示法和函数的三要素以及相关题型,尤其是定义域这个易错点,帮你打好函数学习的基础!

视频列表
  • 1、学习函数的现代定义,引入了集合论的观点,避免了对关系的描述,非常简洁却反映本质!你要清楚$f$只是一种对应关系
    2、 自变量$x$的取值范围叫做函数的定义域,其对应的$y$值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域
  • 1、判断函数对应关系的三大原则是:一、发生对应关系的两集合必须是非空数集,即函数有意义;二、存在性,集合$A$中的所有元素都必须在$B$集合中找到对应元素;三、唯一性。定义域$A$中的每一个自变量元素,在$B$中,只能对应一个值
  • 1、解了常见的三种对应情况:一种是一对一,即$A$中不同的元素对应$B$中不同的元素;第二种是多对一,即$A$中不同的元素对应$B$中的同一元素;第三种是一对多,它严重违反唯一性的情况,它不是函数对应关系
    2、 函数对应关系可以是一对一,或者多对一,但绝不能一对多
  • 1、讲解函数的三种对应情况在题目中的应用
    2、 而对于给出范围的两集合,存在性可以用子集法判断
  • 1、区间的概念,它的本质也是集合,只是一种简便写法。一共分为三种区间:闭区间,开区间和半开半闭区间
    2、 无穷大用这个符号表示$\infty $,常用的实数集,用区间表示就是负无穷大到正无穷大的开区间
    3、 对于断开的不连续的取值集合,可以用并集符号连接各个区间。如果是一个或若干个不连续的实数,则不能用区间表示。如果取值范围由一段范围与一个单独的数构成,要将单独的数放入大括号内,再用并集符号连接
    4、 区间的性质,左端点值必须小于右端点值
  • 1、函数定义域必须用集合或区间来表示,主要有三大限定因素: (1)分母不为零;(2)偶次根式的被开方数非负; (3)零次幂的底数不为零
    2、 对于含有多个限定因素的解析式,定义域要满足每个因素,即取它们的交集。对于实际问题,还要保证定义域有实际意义
  • 1、​尽量不要去化简解析式,如果一定要化简,必须要等价化简
    2、 如果解析式中含有未知参数,要根据参数的取值来分类讨论
  • 1、两类特殊函数的定义域求法:一种是含有两个二次根式,且根号内部为相反数解析式。比如 ,此时根号下只能取$0$
    2、 另一种是处理含绝对值的不等式,要用数形结合的方法
    3、 由函数定义域,反推解析式中的未知参数。注意以下两种说法是完全不同的:“函数的定义域为集合$A$”、“函数在集合$A$上有意义”,后者的集合$A$只是定义域的一个子集
  • 1、定义域为R意味着无论自变量x取什么值函数都有意义,即解析式中,所有分母都不为零、所有偶次根式的被开方数都非负、所有零次幂的底数都不为零
    2、 利用这些性质可以解出解析式中未知参数的范围
  • 1、函数的三要素,是定义域、对应关系和值域。只要定义域和对应关系确定,值域就会随之确定
    2、 两个函数相等的定义:如果两个函数的定义域和对应关系完全—致,就说这两个函数相等,或为同一函数。若其中一个要素不完全一样,它们就不是同一个函数
    3、 即使对应关系和值域都相同的函数,定义域也有可能不同,即为不同函数。这种函数总数可以这么求:先确定值域,再把函数值代入解析式,算出其对应的自变量取值,再把这些值进行组合,有多少种组合方式就有多少种函数
  • 1、两函数是否相等的判定分两步,先看定义域,再看对应关系。关于定义域,要特别注意三类函数的限定因素
    2、 分式型函数要注意分母不为零,不能轻易进行约分,除非确保公因式不为零
    3、 零次幂型函数要注意底数不为零
    4、 根式型函数要注意奇次根式型与偶次根式型的区别。其中奇次根式对根式内部整体没有任何限定,而偶次根式的内部整体要大于等于$0$。同时,偶次根式型函数不能轻易将根式合并或化简,除非在定义域内做等价化简
  • 1、学习函数相等判定在题型中的应用
    2、 先看定义域,再看对应关系,按照这个顺序去比较两个函数,就能看清楚它们的本质,鉴定出它们的身份,判断出它们是否相等
  • 1、学习函数的三种表示法:列表法、解析法和图象法
    2、 探讨了它们的优缺点,发现解析法和图象法才是王道,它们相辅相成的关系也使“数形结合思想”应运而生
  • 1、函数图象的性质是:任何直线$x=a$与函数的图象最多只有一个交点
    2、 学习作函数图象的方法——描点法
    3、 要注意的就是函数定义域,经常需要截取图象,挖空某个点,或者画一些离散的点
  • 函数的概念综合练习
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