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本课程聚焦圆在几何图形表面滚动的核心问题，系统拆解 "自转圈数" 与 "扫过面积" 两大模块，覆盖直线、多边形、圆形三类典型几何场景。通过公式推导、场景分类、例题解析与实战训练，帮助学生建立 "圆心轨迹分析" 的核心思维，掌握几何动态问题的建模方法，提升空间想象与逻辑推理能力。课程内容紧密贴合竞赛考点，兼顾基础性与拓展性，适合优秀学生及几何爱好者学习。

• 圆滚了几圈—圆心路径问题上

  10:07

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  做题0/12
  1、圆在几何图形表面滚动时的自转圈数的基本公式：滚动自转圈数$=$圆心路径长度$÷$圆的周长
  2、 求自转圈数的前两类问题：第一类问题是：圆沿一条直线滚动。此时圆心的路径为一条线段，这条线段的长度就是圆心的轨迹长度
  3、 第二类问题是：圆沿着多边形的表面滚动。(1)若圆在多边形内部沿着多边形的边滚动，圆心的轨迹长度等于多边形的周长减去各个角落与圆接触不到的所有线段的长度；(2)若圆在多边形外部沿着多边形的边滚动，圆心的轨迹长度等于多边形的周长加上圆的一个周长
  
• 圆滚了几圈—圆心路径问题下

  11:38

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  做题0/8
  1、圆心路径问题的第三类问题，圆沿另一个圆的表面滚动
  2、 这类问题的基本原理是：圆心的轨迹为以另一个圆的圆心为圆心，以两个圆之间的距离为半径的圆弧。若两圆外切，则半径为两圆半径之和；若两圆内切，则半径为两圆半径之差。这类问题关键点在于确定圆心角
  3、 对于只沿一个圆滚动的问题，如果知道了滚动几周，就相当于已知圆心角是几个$360$度
  4、 对于一个圆沿贴在一起的许多固定的圆滚动的问题，要注意确定好沿各个圆滚动时“交换”的临界位置，相邻两个临界位置决定了在圆上滚动的圆心角。在实际问题中只需要注意求出两种圆心角：$60$度圆心角与各个角落处的圆心角。(1)$60$度圆心角的个数为并排圆的个数减$2$。(2)在各个角落的圆心角并不固定，具体的圆心角需要画图来确定
  
• 飞驰的轮子—圆扫过面积问题上

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  做题0/5
  1、介绍圆在两类几何图形表面滚动时整个圆扫过的面积问题
  2、 第一类是圆沿一条直线滚动，扫过的面积为矩形$+1$个圆的面积
  3、 第二类是圆沿另一个圆的表面滚动：(1)当圆沿另一个圆的表面滚动且不足一周时，扫过的面积为扇环$+1$个滚动圆的面积；(2)当圆沿另一个圆的表面滚动一周时，扫过的面积就是整个圆环的面积。同样要注意由两圆外切或内切来讨论圆环半径的大小
  
• 飞驰的轮子—圆扫过面积问题下

  00:00

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  做题0/12
  1、圆在第三类几何图形表面滚动时整个圆扫过的面积问题，即圆沿多边形的表面滚动
  2、 对于内滚问题，滚动一周扫过的面积为多边形的面积减去各个角落接触不到的面积与中间多边形的面积
  3、 对于外滚问题，滚动一周扫过的面积为以三角形的周长与圆的直径为两边长的矩形面积，加一个半径为圆直径的圆的面积